Выходной тест 10 класса. Вариант 2.

Вариант 2.

 

  • По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют товарный и пассажирский поезд, скорости которых равны соответственно 40 км/ч и 100 км/ч. Длина товарного поезда равна 750 м. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда равно 1 минуте.
  • Сократите дробь
    (4b + 5)2 + 32b2 - 50 + (4b - 5)2 --------2----------2-----------2 (4b - 5) + (4b + 5) + 50 - 32b
  • Решите уравнение
    3|2x2 + 4x + 1| = |x2 + 5x + 1|
  • sin α = √- 4-3 7, π 2 < α < π. Найдите √3-- sin 2α + sin α- 2
  • Найдите площадь треугольника, ограниченного линиями y = x - 3,y = -x + 3,x = 0.
  • В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60∘. Докажите, что трапеция - равнобедренная.
  • По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют товарный и пассажирский поезд, скорости которых равны соответственно 40 км/ч и 100 км/ч. Длина товарного поезда равна 750 м. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда равно 1 минуте.
    Решение: Пусть длина пассажирского поезда l метров. Скорость пассажирского поезда относительно товарного 100 - 40 = 60 км/ч или 1000 м/мин. Пассажирский поезд прошел мимо товарного за
    l +-750 (l + 750) : 1000 = 1000
    минут.
    l +-750-= 1 1000
    l + 750 = 1000
    l = 250
    Ответ: Длина пассажирского поезда 250 метров.
  • Сократите дробь
    (4b + 5)2 + 32b2 - 50 + (4b - 5)2 --------2----------2-----------2 (4b - 5) + (4b + 5) + 50 - 32b
    Решение: Заметим, что в числителе и знаменателе стоит квадрат суммы/разности.
    ((4b + 5) + (4b - 5))2 64b2 --------------------2 = -----= 0,64b2 ((4b - 5) - (4b + 5)) 100
    Легко убедиться, что если в числителе квадрат суммы заменить на квадрат разности, то ответ не изменится. Аналогично в знаменателе.
    Ответ: 0, 64b2
  • Решите уравнение
    3|2x2 + 4x + 1| = |x2 + 5x + 1|
    Решение: Вспомним, что если |f(x)| = |g(x)|, то модули раскрываются всего двумя способами f(x) = g(x) и f(x) = -g(x). В первом случае получаем
    3(2x2 + 4x + 1 ) = x2 + 5x + 1
    2 5x + 7x + 2 = 0
    x1 = - 1,x2 = - 0, 4
    Во втором случае
    2 2 3(- 2x - 4x - 1 ) = x + 5x + 1
    - 7x2 - 17x - 4 = 0
    17 + √177-- x1 = - ----------- 14
    √ ---- x2 = - 17-----177- 14
    Ответ: -1; -0,4; -17+√177- 14, -17--√177 14
  • sin α = 4√3 -7-, π 2 < α < π. Найдите √ -- 3 sin 2α + sin α 2-
    Решение:
    sin2α = 2sinα cos α
    2 α 1---cosα- sin 2 = 2
    cos2α + sin2α = 1
    Раз α лежит во второй четверти, то его cos α < 0
    ┌ -------------- ∘ ---------- ││ ( √ -)2 ∘ ------- cos α = - 1 - sin2α = - ∘ 1 - 4--3- = - 1 - 48-= - 1- 7 49 7
    Теперь зная cos α можем найти то, что требовалось в задании
    -- -- 4√ 3 1 8√ 3 sin2 α = - 2 *-----* --= - ----- 7 7 49
    Угол α∕2 лежит в первой четверти, значит его синус положителен.
    ∘ ------ ∘ ---------- 1 √ -- sin α- = 1 - cos-α = 1-+-7-= 2--7- 2 2 2 7
    Поэтому
    √ -- √ -- √ -- √ -- α- √ -- 8--3- 2--7- 14--7---24- 3sin2α + sin 2 = - 3 * 49 + 7 = 49
    Ответ: √- 14-74-924
  • Найдите площадь треугольника, ограниченного линиями y = x - 3,y = -x + 3,x = 0.
    Решение: Построим все три прямые и заметим, что они ограничивают треугольник с основанием 6 и высотой 3. По формуле площади треугольника S = 12 * 3 * 6 = 9 Ответ: S = 9
  • В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60∘. Докажите, что трапеция - равнобедренная.
    Решение: Продолжим AD за точку D на расстояние DM = BC.
    PIC
     
    BC = DE
    BCDE - параллелограмм
    AC = AD + BC = AD + DE = AE
    Значит △ACE равнобедренный, но ∠AOD = ∠ACE = 60, значит треугольник △ACE равносторонний. Тогда ∠CAD = ADB = 60 и треугольник △AOD равносторонний. Очевидно, что и треугольник △BOC равносторонний. Значит диагонали трапеции BD = AC равны между собой. Отсюда треугольники △COD = △BOA равны, значит равны стороны AB и CD. Трапеция равнобедренная.