Внутри треугольника △ABC выбрана точка M. Через нее проведена прямая, параллельная AC и пересекающая стороны AB и BC соответственно в точках D и E, причем MD = AD и ME = EC. Докажите, что M- точка пересечения биссектрис треугольника.
На рис.11 AC- биссектриса угла ∠BAM, AD = CE, BE = BD, угол ∠BDA равен углу ∠BEC. Докажите, что AM||BC.
На отрезке AB взята точка C. Через точки A и B проведены по одну сторону от AB параллельные лучи. На них отложены отрезки AD = AC и BE = BC. Точка C соединена отрезками с точками D и E. Докажите, что DC⊥CE.
На рис.12 AB = BC, AO = OD и BO = OC. Докажите, что BD- биссектриса угла ∠EBC.
Два равных тупых угла имеют общую сторону, а две другие стороны взаимно перпендикулярны. Найдите величину тупого угла.
Из вершины развернутого угла проведены два луча, которые делят его на три равные части. Покажите, что биссектриса среднего угла перпендикулярна сторонам развернутого угла.
Докажите, что сумма каждых пяти углов, не прилежащих один к другому и образуемых пятью прямыми, проходящими через одну точку, равна двум прямым углам.
В равнобедренном треугольнике △ABC угол ∠BCA равен углу ∠A, то есть 30∘. Смежный с ним угол ∠BCE тогда равен 150∘. Угол ∠DCE в 5 раз меньше, следовательно, равен 30∘. Таким образом, соответственные углы ∠BAC и ∠DCE равны (оба равны 30∘), поэтому AB||CD, ч.т.д.
Вертикальные углы ∠BOC и ∠AOD равны, AO = OC и BO = OD, следовательно, △BOC = △AOD по двум сторонам и углу между ними. Тогда угол ∠OBC равен углу ∠ODA. Поскольку эти углы - накрест лежащие, то BC||AD, ч.т.д.
Так как равны углы 1 и 2, то равны смежные с ними углы ∠ACB и ∠DEF. Поскольку также ED = BC и EF = AC, то △DEF = △ABC. Поэтому равны углы ∠EFD и ∠CAB. Эти углы - накрест лежащие, следовательно, EF||AC, ч.т.д.
Прямые углы ∠AEB и ∠BEC равны, AE = EC, сторона BE - общая, следовательно, △ABE = △BCE по двум сторонам и углу между ними. Тогда угол ∠BCE равен углу ∠BAE, то есть, угол ∠BCA равен углу ∠BAC. Так как AC - биссектриса, угол ∠BAC равен углу ∠CAD. Получаем, что накрест лежащие углы ∠BCA и ∠CAD равны, а поэтому BC||AD, ч.т.д.
Угол ∠CAB равен 140∘.
Так как BC||AD, то равны накрест лежащие углы ∠BCA и ∠CAD. По условию, BC = AD; сторона AC - общая. Таким образом, по двум сторонам и углу между ними, треугольники △ABC и △ADC равны, ч.т.д.
В равнобедренном треугольнике △ADE угол ∠DEA равен углу ∠DAE. Так как DE||AC, то равны накрест лежащие углы ∠CAE и ∠DEA. Таким образом, AE- биссектриса к основанию равнобедренного треугольника △ABC. Она также является высотой, то есть AE⊥BC, ч.т.д.
Так как AB||CD и BC||AD, то ABCD - параллелограмм. Отсюда равны углы ∠BAD и ∠BCD, а следовательно, и смежные с ними углы ∠BCE и ∠FAD. Также BC = AD и AB = CD. Поскольку BF||DE и DF||BE, то FBED - параллелограмм. Тогда BF = DE. Отсюда и из AB = CD следует AF = CE. Наконец, BC = AD, CE = AF, угол ∠BCE равен углу ∠FAD, так что △FAD = △CBE по двум сторонам и углу между ними, ч.т.д.
Нет. По свойствам накрест лежащих, односторонних и соответственных углов, все углы при пересечении прямых a и b прямой d равны либо 110∘, либо 70∘.
Проведем прямую CF, параллельную BA (а следовательно, и DE). Сумма односторонних углов ∠ABC и ∠BCF равна 180∘, так что угол ∠BCF равен 40∘. Сумма односторонних углов ∠CDE и ∠DCF тоже равна 180∘, поэтому угол ∠DCF равен 50∘. Угол ∠BCD равен сумме углов ∠BCF и ∠DCF, то есть 90∘, следовательно, BC⊥CD, ч.т.д.
Угол ∠BED равен 70∘.
В равнобедренном треугольнике △ADM углы ∠DAM и ∠DMA равны. Так как DE||AC, то равны накрест лежащие углы ∠DMA и ∠MAC. Получаем, что углы ∠DAM и ∠MAC равны, так что AM - биссектриса угла ∠DAC, то есть угла ∠A в треугольнике △ABC. Аналогично, поскольку и треугольник △CEM равнобедренный, оказывается, что CM - биссектриса угла ∠C. В точке M пересекаются две биссектрисы треугольника, следовательно, это и есть точка пересечения всех трех биссектрис, ч.т.д.
По условию, AD = CE,BD = DE, углы ∠BDA и ∠BEC равны. Тогда △BAD = △BCE по двум сторонам и углу между ними. Поэтому AB = BC и в равнобедренном треугольнике △ABC равны углы ∠BCA и ∠BAC. Так как AC - биссектриса угла ∠BAM, угол ∠BAC равен углу ∠CAM. Из равенства накрест лежащих углов ∠BCA и ∠CAM следует AM||BC, ч.т.д.
Обозначим угол ∠ACD за x, угол ∠BCE за y. Так как треугольники △ACD и △BCE равнобедренные, угол ∠ADC равен x, угол ∠BEC равен y. Проведем через точку C луч CM, параллельный AD и BE. Из равенства накрест лежащих углов, угол ∠DCM равен x, угол ∠ECM равен y. Развернутый угол ∠ACB равен сумме углов ∠ACD, ∠DCM, ∠ECM и ∠BCE, то есть 2x + 2y, откуда x + y = 90∘. Но угол ∠DCE равен x + y, так что DC⊥CE, ч.т.д.
Вертикальные углы ∠AOC и ∠BOD равны, AO = OD, BO = OC, так что △AOC = △BOD по двум сторонам и углу между ними. Тогда равны углы ∠ACO и ∠OBD, то есть ∠ACB и ∠CBD. Из равенства накрест лежащих углов получаем AC||BD. Равны соответственные углы ∠DBE и ∠BAC. В равнобедренном треугольнике △ABC угол ∠BAC равен углу ∠ACB, следовательно, углу ∠CBD. Таким образом, углы ∠DBE и ∠CBD равны, поэтому BD - биссектриса угла ∠EBC, ч.т.д.
Тупой угол равен 135∘.
Развернутый угол равен 180∘, следовательно, каждая из трех частей равна 60∘. Биссектриса делит средний угол пополам, то есть на две части, равные 30∘. Тогда угол между этой биссектрисой и стороной исходного угла равен 60∘+30∘=90∘. Это и означает перепендикулярность, ч.т.д.
Рассмотрим наши 5 прямых и 10 углов, образующихся при их пересечении. Выберем из них 5 углов, не прилежащих один к другому, и обозначим их сумму за S. Остальные 5 углов соответственно вертикальные этим пяти углам, поэтому их сумма тоже равна S. Сумма всех 10 углов равна 2S, но очевидно, что она равна 360∘. Тогда S = 180∘, ч.т.д.
