Задача 1. Решите уравнение:

Решение. Домножим на знаменатель и упростим:

(в этом выражении легко узнать полный квадрат)

При x = -2, 1 - x = 1 - (-2) = 3≠0, это решение подходит.

Ответ. x = -2.

Комментарий. Если не заметили полный квадрат, можно решать обычным способом, через дискриминант.

Получаем то же единственное решение x = -2.

В любом случае, важно проверить, что для найденного решения знаменатель дроби (в исходном уравнении) не равен нулю.

Задача 2. Решите систему неравенств:

Решение.

< (например, потому что < 1, а > 1).

Изобразим решения неравенств на числовой оси (желтый и синий цвет соответственно).

Пересечение этих решений (зеленый цвет) даст решение системы.

Ответ. x ≥.

Комментарий. Здесь после упрощения остается система из двух неравенств, направленных «в одну сторону». В таком случае одно из неравенств (x ≥) оказывается «более сильным» и «поглощает» второе неравенство (x > ), «более слабое» (понятно, что если x ≥, то тем более x > ). Это «более сильное» неравенство и остается в ответе.

Также можно использовать десятичные дроби и записать ответ как x ≥ 1.4.

Задача 3. Упростите выражение и найдите его значение при a = 4, b = и c = -2:

Решение.

При a = 4 и c = -2:

Комментарий. Деление дробей сразу преобразуем в умножение. У первой дроби в числителе можно заметить квадрат разности, в знаменателе вынести 2 за скобку. В числителе второй дроби можно вынести c за скобку. Наконец, умножая дроби, можно сократить a - 3 и еще b + 4.

Задача 4. Найдите площадь изображенной на рисунке фигуры.

Решение. Площадь параллелограмма S = a ⋅ h.
Основание a = 5 (сторона, идущая по вертикальной линии).
Высота h = 4 (красная горизонтальная линия).
S = a ⋅ h = 5 ⋅ 4 = 20

Комментарий. Здесь нужно проявить некоторую нешаблонность мышления. Сначала опознать параллелограмм в необычном положении (нет пары сторон, идущих на рисунке горизонтально). А потом взять за основание параллелограмма сторону, идущую вертикально. Тогда высота будет идти горизонтально. Длины основания и высоты легко считаются по клеточкам.

Задача 5. Марсоход оснащен двумя независимо работающими антеннами для связи с Землей. Большая антенна будет исправно работать в течение года с вероятностью 0.65, а малая антенна – с вероятностью 0.92. Какова вероятность, что в течении года марсоход полностью потеряет связь с Землей?

Решение. Событие A - поломка большой антенны в течение года.
Событие B - поломка малой антенны в течение года.
Полная потеря связи с Землей в течение года - событие AB.

Ответ. P = 0.028.

Комментарий. События «антенна исправно работает» и «антенна сломалась» - противоположные. Вероятность одного из них можно получить, вычитая из 1 вероятность другого. Так мы находит P(A) и P(B).

Совместное осуществление событий A и B называется произведением этих событий и обозначается AB.

Антенны работают независимо, поэтому события A и B независимые. Тогда вероятность их произведения можно вычислить по формуле P(AB) = P(A) ⋅ P(B).

Задача 6. Учитель задал на каникулы домашнее задание из большого числа однотипных задач. Вася решил все задачи за 5 дней, занимаясь по 2 часа в день. Петя решает за час на 2 задачи больше, чем Вася, поэтому он справился за 3 дня, занимаясь по 2.5 часа в день. Сколько задач решает Вася за час?

Решение. Пусть учитель задал N задач, Вася решает x задач в час. Тогда Петя решает x + 2 задачи в час.

Вася потратил на решение задач 5 ⋅ 2 = 10 часов, так что x ⋅ 10 = N.

Петя потратил 3 ⋅ 2.5 = 7.5 часов, так что (x + 2) ⋅ 7.5 = N.

Приравняем:

Ответ. 6 задач в час.

Комментарий. Эта задача - про работу и производительность труда. Здесь можно использовать формулу V = p ⋅ t, где V - объем работ, p - производительность, t - время. Объем работ мы измеряем в задачах (обозначим за N количество задач), а производительность - в задачах в час.

Из формулы V = p ⋅ t берется x ⋅ 10 = N и (x + 2) ⋅ 7.5 = N. Можно приравнять эти два выражения для N, исключить N и получить уравнение с одной неизвестной x. Решая его, получим ответ.

Логично обозначить буквой x производительность Васи, которую надо найти. А уже через нее выразить производительность Пети.