Задача 1. Решите уравнение:

Решение. Домножим на знаменатель и упростим:

При x = 4.5, x + 3 = 4.5 + 3 = 7.5≠0, это решение подходит.

Ответ.x = 4.5.

Комментарий. Все квадраты неизвестного сокращаются, и уравнение из квадратного становится линейным.
В любом случае, важно проверить, что для найденного решения знаменатель дроби (в исходном уравнении) не равен нулю.

Задача 2. Решите систему неравенств:

Решение.

= < .

Изобразим решения неравенств на числовой оси (желтый и синий цвет соответственно).

Пересечение этих решений (зеленый цвет) даст решение системы.

Ответ. < x ≤.

Комментарий. После упрощения остается система из двух неравенств, направленных «в разные стороны». Обычно (и в данном случае тоже) решения неравенств будут пересекаться на неком промежутке.

Также можно использовать десятичные дроби и записать ответ как 0.5 < x ≤ 0.625.

Задача 3. Упростите выражение и найдите его значение при p = 1, q = 6 и r = :

Решение.

При p = 1 и q = 6:

Комментарий. Деление дробей сразу преобразуем в умножение. У первой дроби в числителе можно заметить квадрат суммы, в знаменателе вынести за скобку q. В числителе второй дроби можно вынести 3 за скобку. Наконец, умножая дроби, можно сократить 3p + 1 и еще 3r - 2.

Задача 4. Найдите площадь изображенной на рисунке фигуры.

Решение. Площадь треугольника S = ah.
Основание a = 3 («верхняя правая» сторона).
Высота h = 3 (красная линия из «нижней левой» вершины).

Комментарий. Здесь нет удобной стороны, идущей по линиям сетки (горизонтально или вертикально). Но есть неплохой вариант - сторона, идущая под углом 45^∘ к линиям сетки. Она пересекает 3 клетки по диагонали, а диагональ клетки равна . Высота к этой стороне тоже идет под углом 45^∘ к линиям сетки.

Задача 5. Вася и Петя учатся в одном классе. Утром они собираются в школу независимо друг от друга. К первому уроку Вася приходит вовремя с вероятностью 0.25, а Петя – с вероятностью 0.76. Сегодня первый урок ведет строгий учитель, который не пускает опоздавших в класс. С какой вероятностью Вася и Петя вместо урока будут весело болтать в коридоре?

Решение. Событие A - Вася опоздал к первому уроку.
Событие B - Петя опоздал к первому уроку.
Вася и Петя вместо урока болтают в коридоре - событие AB.

Ответ. P = 0.18.

Комментарий. События «ученик опоздал на урок» и «ученик пришел на урок вовремя» - противоположные. Вероятность одного из них можно получить, вычитая из 1 вероятность другого. Так мы находит P(A) и P(B).

Совместное осуществление событий A и B называется произведением этих событий и обозначается AB.

Вася и Петя собираются в школу независимо, поэтому события A и B независимые. Тогда вероятность их произведения можно вычислить по формуле P(AB) = P(A) ⋅ P(B).

Задача 6. На двух соседних дачах завелось одинаковое количество мышей. На одну дачу привезли кота Барсика, который переловил всех мышей за 4 дня. На вторую дачу привезли кота Маркиза, и он справился за 2.5 дня. За день Барсик ловит на 3 мыши меньше, чем Маркиз. Сколько мышей за день ловит Маркиз?

Решение. Пусть на каждой даче завелось N мышей.

Пусть Маркиз ловит x мышей в день. Тогда x ⋅ 2.5 = N.

В таком случае Барсик ловит x - 3 мыши в день и (x - 3) ⋅ 4 = N.

Приравняем:

Ответ. 8 мышей в день.

Комментарий. Эта задача - про работу и производительность труда. Здесь можно использовать формулу V = p ⋅ t, где V - объем работ, p - производительность, t - время. Объем работ мы измеряем в мышах, а производительность - в мышах в день.

Из формулы V = p ⋅ t берется x ⋅ 2.5 = N и (x - 3) ⋅ 4 = N. Можно приравнять эти два выражения для N, исключить N и получить уравнение с одной неизвестной x. Решая его, получим ответ.

Логично обозначить буквой x производительность Маркиза, которую надо найти. А уже через нее выразить производительность Барсика.